数学

平方根の計算から2次方程式と2次関数までの覚えるべきことを総整理

日本の平均的な数学力について調べていて驚いてひっくり返ったので、まずはお読み下さい!

2012年には大学生の4人に1人が平均の意味を正しく理解していないという事実があり、

しかも日本人の平均的な数学力が平方根で止まっているということも以前に聞いたことがあります。

これってやばくないですか?

だって、2人に1人が、\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)っていくつでしょうか?と質問したら\(\sqrt{5}\)とか\(\sqrt{6}\)とかという珍解答が返ってくるんですよ。

これは結構大きな問題だと思うので、

平方根を多くの方に復習していただきたく思い、記事にさせていただきます。

平方根は中3のメインとなる内容で、高校数学を学習するための資格のようなイメージの分野です。

メメメイナ
なぜですか?平方根を特別視する理由って何でしょうか?
ナナナイル
実は、2次関数が中学数学のラストから高校数学の真の意味で基本となる分野なんだ。これは大学受験という観点で考えたときの僕の結論だよ。その2次関数を理解するためには2次方程式が解けなくては門前払いされるのだけれど、その2次方程式を理解するには平方根が分からないとアウトなんだ笑

その意味で、平方根は高校以上の数学(数検準2級以上)を行うための登竜門的な立ち位置と思っていただければOKです。

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数学嫌いが増えるこの分野の本質部分を分かりやすくを教えます。

  • 一度数学を諦めてしまったあなたも、
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是非とも読んでいただきたく思います。

平方根は大学入試を見据えた場合は計算ができればOK

何かを2乗すると9です。その数って何でしょう?

小学生でかなり優秀な生徒が出し合っているような問題です。

普通の小学生は3だ!と答えます。

ナナナイル
しかし実は-3も答えなのですね。
マイナスかけるマイナスがプラスになる理由!正負の数を10分で攻略

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何かを2乗して\(a\)になる元の数を\(a\)の平方根といい、
その正の値を\(\sqrt{a}\)という記号で表します。

このルートの定義をきちんと覚えましょうね。

当然\(\sqrt{0}\)=0です。

メメメイナ
質問です!\(\sqrt{1}\)=1や\(\sqrt{4}\)=2はわかります。でも\(\sqrt{2}\)や\(\sqrt{3}\)の値は分かりません!?
ナナナイル
良い質問だ!この理解が平方根を理解するためのすべてだと言ってよい。まず\(\sqrt{2}\)や\(\sqrt{3}\)の値は無理数といって分数で表せない。だけど数直線を考えると、大きさ的に次のようになっているよね?1<\(\sqrt{2}\)<\(\sqrt{3}\)<2。まずはそこを理解しよう。
  • \(\sqrt{2}\)などは無理数で、それ以上簡単にできないので、\(\sqrt{2}\)という表記で1つの数という認識を持つ。
  • 1<\(\sqrt{2}\)の理由は両辺を2乗すると1<2になるからです。

ここはOKでしょうか?

次にいよいよ計算練習に行きます。

次の値を計算せよ。

  1. \(2\sqrt{3}+5\sqrt{3}\)
  2. \(2\sqrt{3}-5\sqrt{3}\)
  3. \(\sqrt{8}+\sqrt{2}\)

順に説明します。

まず\(\sqrt{3}\)はそれ自体で1つの値なのですね。

だから、\(2\sqrt{3}+5\sqrt{3}\)=\(7\sqrt{3}\)

次です。引き算も同様に考えれば、\(2\sqrt{3}-5\sqrt{3}\)=\(-3\sqrt{3}\)

メメメイナ
最後の問題が分かりません!
ナナナイル
数学で大きな数字が出てきたら分割してみようか・・・。

8を素因数分解すると、\(2^3\)です。

だから\(\sqrt{8}\)=\(\sqrt{2}\)×\(\sqrt{2}\)×\(\sqrt{2}\)です。

メメメイナ
\(\sqrt{8}\)がこのように分けられると習いましたが納得できません!
ナナナイル
じゃあこの両辺を2乗してごらん。確かに一致するよね。 このようにルートの中(根号の中)が大きいときは素因数分解してルートの中を小さくして処理していけばOK。

最後にルートが入ったかけ算と割り算を勉強しましょう。

かけ算の問題は簡単です。割り算の問題は注意しましょう!

次の値を計算せよ。

  1. \(2\sqrt{3}×5\sqrt{3}\)
  2. \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)

順に説明します。

\(2\sqrt{3}×5\sqrt{3}\)=\(10\sqrt{15}\)ですね。

次の問題ですが・・・。

メメメイナ
これってもう最初から答えじゃないんですか?
ナナナイル
いいえ。数学では分母にくる数字は算数的に意味がある数字でなくてはNGなんだよ。

例えば分母に−が来てはダメとかですね。

だから当然、分母に無理数が入ったらNGです。

だから分母を無理数でない有理数にする必要があります。

これを分母の有理化といいます。

有理数とは分数(分母と分子には整数が入る。分母が0はアウト!)で表される数と思っていただいてOKです。

\(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)の式がありますね。

まず、分母が無理数なので、分母と分子に\(\sqrt{2}\)をかけると、

\(\frac{\sqrt{6}}{2}\)になり答えです。

もっと骨がある問題は1対1対応の演習をごらんください。

ここまでやれば大学入試もOKです。

2次方程式の解の公式はしっかりマスターしよう!

9の平方根は±3です。

これって何かを2乗したら9になる数は?という問題ですよね?

つまり未知数を\(x\)をとしたときに\(x\)を含む等式(すべての\(x\)に対して成立するとは限らない)が\(x\)の方程式です。

そして\(x\)について2次式の方程式を\(x\)の2次方程式と言います。

ただし、この2次方程式を理解するには因数分解の知識が必要です。

が、因数分解の話はまた後日にして、

今回は解の公式で一発で解く!という手法を教えます。

ぶっちゃけ2次方程式で覚える公式は解の公式1つだけです。

\(ax^2+bx+c=0\)で、\(a\)≠0の時、

\(x=\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)

これを2次方程式の解の公式と言います。

メメメイナ
なんだかめっちゃ面倒くさい公式ですね。
ナナナイル
それは仕方ないw誰もが通る道だよ。これは使っていくうちに覚えていく物だよ。

では、この公式を証明できますか?

この平方完成の記事をご覧になって左辺を平方完成すると解の公式がきれいに導けます。

二次関数の解き方、平方完成、グラフの本質が10分で理解できます!

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では、実際に練習してみましょう。

次の2次方程式を解け。

\(x^2+5x+6=0\)

まず最初の問題は\(a\)=1で\(b\)=5で\(c\)=6なので、解の公式に代入して、

\(x\)=−2,−3ですね。

2次関数は高校数学の真の意味で入り口である!

さて、中学数学のラストは2次関数です。

その理由は高校数学の入り口と繋がるからです。

2次関数は次のことができればOKです!

色がついた部分は中学範囲(数検3級レベル

  1. 頂点が原点の2次関数のグラフが書ける
  2. 2次関数と1次関数の共有点の座標が求められる。
  3. 2次関数を平方完成できる。
  4. 2次関数の最大最小問題が理解できる。
  5. 2次方程式と二次関数の関連性が分かる。
  6. 判別式が分かる。
  7. 2次不等式が自由自在に解ける。
数検3級に過去問は不要!難易度や勉強法を1級合格者が教えるよ!

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実はこの全ては次の記事にぎゅっと凝縮されています。

たかだか10分程度でスピード感がある人は理解ができますので、オススメです。

大学入試へ向けた2次関数のパターンを網羅したいあなたは、

先程紹介しました『1対1対応の演習』をとてもオススメします。

東大(の典型問題レベル)の問題まで掲載されており、網羅度合いは抜群です。(神)

これでも簡単!というあなたは是非とも受験数学のテンプレートをご覧下さい。

大学受験数学の攻略法!教科書からでも最難関までOK

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nananairu

かつては超進学校に勤務していましたが5回の転職を経て社会人してます。週6のジム通いをしながら夢は大きく数検1級・漢検1級・英検1級の3冠王を目指しています。デッド200kg。

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