数検

無限の上に無限が無限にあります!

以前の無限集合の問題に対する解答の記事にて、次のような問題を出しました。

次の問の各集合のうち、どちらの濃度が濃いか答えよ。(3)はその集合の構成を考えよ。

(1)「0から1までの集合」と「0から10までの集合」

(2)「自然数全体の集合」と「実数全体の集合」

(3)「実数全体の集合」よりも濃度が濃い集合を構成せよ。

本記事では、その解答と解説を行います。

復習

無限集合についての記事の復習をオススメします。

数検1級以上の内容ですが、解りやすく書いています。

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さて、準備はよろしいでしょうか?

解答前の準備

解答の前に定義をします

自然数全体の集合の濃度をアレフゼロで定義します。記号は、

こんな卍(まんじ)っぽい記号です。対して、実数全体の集合の濃度をアレフで定義します。記号は、

これも卍っぽいですが、0が書いていないのが特徴です。

濃度の強さで言うと、アレフゼロ<アレフとなります。

濃度の対等性

集合Aと集合Bの濃度が同じとは、一次関数的な対応関係が存在した場合、OKです。

(本当はもっと複雑ですが、本記事では上述のように定義します)

例えば、集合Aを整数全体の集合、集合Bを偶数全体の集合とします。Aの要素をaとすると、2aの値はBの要素になりますね。つまりAとBの間にはy=2xと言う一次関数的な対応関係が存在するため、集合Bの濃度もアレフゼロとなります。

問題の解答

いよいよ解答です!ここでもう一度、問題を再び掲載します。

次の問の各集合のうち、どちらの濃度が濃いか答えよ。(3)はその集合の構成を考えよ。

(1)「0から1までの集合」と「0から10までの集合」

(2)「自然数全体の集合」と「実数全体の集合」

(3)「実数全体の集合」よりも濃度が濃い集合を構成せよ。

問題1の答え

同じ濃度であり、アレフゼロです。

問題2の答え

実数全体の集合です。自然数全体の集合はアレフゼロで、実数全体の集合はアレフゼロであるからです。

問題3の答え

べき集合を考えれば良い。実際、実数全体の集合Rにおいて、そのべき集合R^Rを考えれば、その濃度はアレフを超える。問題3の証明は、かなり難しいです。その先を知りたい方は、

などをオススメします。

集合論の深入りは危険?

上に紹介させて頂きました名著についてですが、初めの本は数学科以外の学部生向きで、下の本は純粋数学科向きです。

つまり見る人によっては意味不だと思われます。

そもそも集合論自体が抽象的ですので、余程興味がおありの方以外の深入りは危険です。

数検1級チャレンジャーの方は、集合論(の濃度の所は)は範囲外のためオーバーワークです。つまり1級の抽象数学は線型代数の線型空間だけなのかな・・・?

いずれにせよ、数学の奥の深さが実感できますね。実際、数学者カントールという方は、アレフゼロ<アレフという命題の証明に命を懸け過ぎて、精神を病み、病院に運ばれてしまった話もあります。無限の魔力に魅せられてしまったのでしょうね。

無限はただ大きいだけじゃない!

では、濃度について纏めましょう。

無限はただ大きいという概念だけでなく、数えられる無限と数えられない無限があり、それぞれの濃度はアレフゼロ、アレフである。
 
任意の集合の濃度がどうか?については、既知の濃度の集合の要素と未知の濃度の集合の要素との間に、一次関数的な対応関係が存在すれば、未知の集合の濃度は既知のそれに等しい。
 

また、証明は難しいですが、アレフの先のデカイ無限も無限に作れてしまいます。頭混乱させてしまった方、すみません。

お読み頂き、ありがとうございます。

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